《大宇之形》:几何学如何帮助我们揭开宇宙的奥秘?

《大宇之形》:几何学如何帮助我们揭开宇宙的奥秘?

 

今天为你解读的这本书叫《大宇之形》。

这本书讲的是,几何学如何帮助我们揭开宇宙的奥秘?乍一听,你可能会感觉这个问题有点奇怪。

因为我们很少会把「几何学」和「宇宙」联系在一起。

在我们的印象里,几何就是中学里的一门课。

从小学到中学,我们学的数学变成了代数和几何。

我们学过的几何学,都是算面积、算角度,证明两条直线是平行还是垂直,证明两个三角形相似还是全等。

从中学毕业,几何学似乎就和我们没有什么关系了,几何学更像是像建筑师、机械工程师、地图测绘工程师手里的一个工具。

虽然宇宙的奥秘是啥,我们未必知道,但是我们知道,这个事儿归天文学家和物理学家来管。

确实,研究天文学和物理学,都需要很深的数学功底,但是在我们的想象中,物理学家用到的数学,那都是微积分、方程式,就像电影、电视剧里边的物理学家,一写一黑板,全是我们看不懂的公式。

这事儿似乎和几何学不沾边啊。

今天为你解读的这本《大宇之形》,就能帮助我们看清楚,几何学与研究宇宙的前沿物理学之间到底有什么关系。

这本书的作者丘成桐先生,是当代最伟大的数学大师之一。

他担任过哈佛大学数学系的系主任,现在是清华大学数学科学中心的主任,同时,他还是美国、俄罗斯、中国和意大利四个国家科学院的院士。

丘成桐成功地解决过许多有名的数学难题,让他备受科学界瞩目的成绩,是他解决了几何学中的一个著名难题叫「卡拉比猜想」,发现了「卡拉比-丘空间」,这个「卡拉比-丘空间」后来成为目前解释宇宙模型的那个「弦理论」重要的理论基础。

卡拉比-丘空间具体是个什么东西,它和弦理论之间到底是什么联系,这些咱们都放到后边慢慢讲,但是从丘成桐先生的学术成就你就能看出来,直到今天,几何学依然在影响着最前沿的物理学。

接下来,我将分成两个部分为你解读这本书。

第一部分,我们来看看,过去的几何学为人类探索宇宙做出了哪些贡献?第二部分,我们来看看,今天的几何学还在做出哪些贡献?第一部分我们先来看第一个问题:过去的几何学,为人类探索宇宙做出了哪些贡献?其实早在两千多年前,也就是古希腊时期,那个时候的几何学家,就已经留下了非常重要的科学遗产,一直到今天,物理学家和天文学家还依然在使用。

最重要的遗产有两个,一个是欧几里得的《几何原本》,一个是毕达哥拉斯定理。

欧几里得的《几何原本》之所以重要,是因为他给后世所有的科学家做了一次示范,如何从最基础的事实,一步步构建一座科学大厦。

《几何原本》的起点,就是一些对于概念的定义,再有就是五条基本的公设,接下来完全依靠逻辑,来证明一条条的定理,再用这些定理来证明其他命题。

我们在中学学习的几何学,就是按照《几何原本》这样的模式,后世的几何学乃至其他科学,也都把《几何原本》当作效仿的对象,后来无论是牛顿力学,还是电磁学,都遵从了同样的模式:先找到基本的公设,推导出基本的定理,把这些当作科学大厦的奠基石,在此之上再为这座科学大厦添砖加瓦。

古希腊几何学家另一个重要的遗产是毕达哥拉斯定理,也就是我们中国人说的「勾股定理」。

丘成桐说,勾股定理的奇妙之处,在于他在任何维度空间里边都是成立的:二维空间里边,直角三角形的斜边长度的平方,等于两条直角边长度的平方之和;三维空间里边,一个立方体对角线长度的平方,等于三条互相垂直的边长度的平方之和。

而且科学家已经证明,如果存在更高维的空间,勾股定理仍然成立,无非是那个直角边的数量不一样:四维空间里边,就是四条直角边的平方和,五维空间就是五条直角边的平方和。

勾股定理的这个奇妙特性,使得勾股定理直到今天,依然是科学家们手里的一个重要工具。

干什么用呢?测量距离。

不仅是在二维平面上还有三维宇宙中,即使是在科学家想象中的四维空间、五维空间里边,都可以用这样的方法来测量距离。

在古希腊之后,另一位对几何学有大贡献的科学家,是17世纪法国的哲学家、数学家和物理学家笛卡尔。

笛卡尔确实是个天才,他想到可以在平面中引入坐标,建立坐标系,然后将一个代数方程和平面上的一条曲线对应起来,这样,就把几何问题和代数问题之间的那堵墙给打通了。

在笛卡尔之前,几何学差不多就局限在直线、圆和圆锥曲线的讨论,圆锥曲线就是椭圆、拋物线、双曲线这些。

总之,之前几何学可以研究的范围非常窄,但是在笛卡尔之后,数学家能够思考任何维度的空间,任何复杂的图形。

这些东西,原本数学家们都不知道应该怎么画,但是一旦有了坐标系,就可以先列出方程,再画出图形。

原本不知道怎样解决的几何问题,也可以转换成方程来求解。

这一下,原本几何学中的很多死路,就都发现了新的方向。

而且,笛卡尔的天才发明,不仅是让几何学找到了新的方向,也让物理学,尤其是天体物理找到了新的方向。

因为星球的轨道都是一个个曲线,只有在几何学的帮助下,才能看清楚这些轨道的奥秘,才能找到星球移动的规律和原理。

笛卡尔自己就已经在物理学和天文学上做出了一些突破。

之后,比笛卡尔小40多岁的牛顿,在这些基础上,建立了牛顿力学的体系,找到了天体运行的重要规律。

此后又过了一百多年,又有人给几何学来了一次颠覆,这个人就是德国数学家高斯。

高斯对于几何学最大的颠覆,来自他一个惊人的想法,那就是不止空间中物体可以弯曲,空间本身是不是也可以弯曲呢?什么叫空间的弯曲呢?咱们还得说回到欧几里得的《几何原本》,前边咱们提到,《几何原本》最开始提出了五大公设,其中一条就是,平行线永远不相交,三角形的内角和必定是180度。

满足这条公设的空间,我们就说它是「平坦」的。

你在平整的桌面上铺一张白纸,无论在上边画什么样的平行线,那肯定都是不相交的,画什么样的三角形,它的内角和也肯定是180度。

但是如果换一个平面,比如在地球仪上边,事情就发生变化了。

你看地球仪上的一条条的经线,每条经线都和赤道是垂直的,按照咱们之前学过的几何学,那经线和经线之间就是平行的,但是,所有的经线又都在南极点和北极点相交。

如果你在地球仪上画一个三角形,你会发现这个三角形的内角和大于180度。

在地球仪这样一个球形的平面上,欧几里得的几何学就被颠覆了,存在着既平行又相交的直线,也存在着内角和不等于180度的三角形。

于是高斯就提出,不只存在唯一的一套几何学体系,针对不同的空间,有着不一样的几何学。

从欧几里得开始,两千年来大家一直在研究的,这个平坦空间的几何学,就被成为「欧式几何」。

除此之外的,就被称为「非欧几何」。

像是咱们刚才说的,地球仪上边这个平面的几何学,就属于非欧几何。

非欧几何的出现太重要了,而且受益最多的其实就是研究宇宙的天文学家和物理学家。

因为在宇宙的尺度上,非欧几何反而比欧式几何更符合实际情况。

比如地球就是一个球形,实际上在地球平面上的几何学,都应该遵循非欧几何的规律。

只不过是因为和我们人类相比,地球这个球体的表面积太大了,所以在我们看起来,就好像是平的。

在我们实际生活中,比如建个房子、规划条公路,应用欧式几何都没有问题,但是其实这只是一种高度的近似。

如果把视角一下拉到太空,再用欧式几何去思考或者计算问题,就会出现误差。

这个时候非欧几何才更加符合宇宙的实际情况。

所以,甚至有科学家直接把高斯开始建立的非欧几何,称作「星空几何」或者「宇宙几何」。

一直到了20世纪,爱因斯坦在思考关于宇宙的问题时,几何学也给了他巨大的帮助。

甚至可以说,没有几何学,就没有相对论。

关于相对论,时间有限,我就不在这里为你展开介绍了。

如果你感兴趣,可以在「每天听本书」去搜另一本书叫《时间的形状》。

简单来说,爱因斯坦的广义相对论提出了一个最重要的结论,就是宇宙中的空间是可以弯曲的。

地球并不是因为什么神秘力量才围着太阳转,而是太阳让周围的空间弯曲,地球就在弯曲的空间里边沿直线运动。

行星环绕太阳运动、物体下落,都是因为它们周围的空间是弯曲的。

既然爱因斯坦研究的是弯曲的空间,那么,他必须找到研究和计算弯曲空间的数学工具。

结果他发现,数学家们早就已经开始研究弯曲空间的几何学了,就是咱们前边提到的非欧几何。

这个时候的非欧几何,也已经突飞猛进地发展。

高斯提出的非欧几何,研究的还是二维平面,后来,高斯的学生黎曼把非欧几何推广到了三维乃至更高维度的空间。

所以描述三维空间的几何学,又被称为「黎曼几何」。

黎曼几何已经很深奥了,说句实话,我是看不懂。

但是这也不丢人,当年爱因斯坦,他一开始也看不懂黎曼几何,他需要比他数学更好的学生先学会黎曼几何,再耐心细致地解释给他听。

但是爱因斯坦确实是天才,他的天才就在于,他弄懂黎曼几何马上之后就确定,这套数学就是为他的广义相对论量身定做的。

就像是牛顿力学配合上欧式几何,我们就可以计算星球的运行轨道,爱因斯坦发现,广义相对论配合上黎曼几何,我们对于宇宙空间的认识就会再上一个台阶。

所以你看,在过去的两千多年中,从欧几里得的时代,到爱因斯坦的时代,几何学一直和物理学互相影响,互相帮助。

甚至很多时候,是几何学家先发明出一套数学算法,物理学家后来才拿来解释宇宙的规律。

所以,丘成桐先生骄傲地说:「当我说几何学可与物理学和宇宙学等量齐观,都是解开宇宙奥秘的无价工具时,我并不是空口吹嘘。

」第二部分接下来,我们再来看第二个问题:现在的几何学为人类探索宇宙做出了哪些贡献?要说现代几何学对于人类认识宇宙所做出的贡献,最重要的一个,正是丘成桐先生做出来的,他证明了「卡拉比-丘空间」,这个发现,为弦理论从数学上找到了理论根基。

为什么这件事是现代几何学最重要的贡献之一呢?这就要从弦理论说起。

前边咱们提到,爱因斯坦提出了广义相对论,改变了人类对于宇宙和时空的认知,二十世纪物理学其实还有另一大发现,那就是量子力学。

可以说,广义相对论成功解释了大尺度的空间,量子力学成功解释了微小的物质,这都让人类对于世界的认识往前推进了一大步。

可是问题来了,广义相对论和量子力学这两种理论本身并不兼容,好多内容是打架的。

有物理学家就调侃说,如果一名大学生上午听了相对论的课,下午又听了量子力学的课,然后这个学生得出结论,说教授们都是糊涂蛋,他这么想都是可以理解的。

为什么呢?如果你想结合广义相对论和量子力学,结果会是一团糟。

用广义相对论来推导星系、行星之类的巨大物体,得出的结论都准确无误,用量子力学去描述原子、电子这样的微小粒子,精确度甚至能到小数点之后第10位。

但是广义相对论和量子力学放到一起,两者就是不兼容。

这件事让物理学家非常抓狂,因为它动摇了物理学家的一个基本的信仰。

科学家们一直相信,我们能找到一种大一统的理论框架,可以解释宇宙间所有的物理奥秘。

比如牛顿的万有引力,就是一个统一的框架,从地上的石子和苹果,到天上的太阳和月亮,都遵循着一套物理规则,这才符合物理学家们的信念。

可是随着人类对世界的认识又往前推进了一步,物理学家发现,现在他们眼中的宇宙被撕裂成两部分:大尺度的地方,可以使用相对论来解释,小尺度的地方,可以使用量子力学来解释,但是这两部分互相之间却有墙隔着。

更何况,对于宇宙的一些特殊的研究,比如黑洞理论,就既需要把大尺度的理论和小尺度的理论汇聚在一起,可是相对论和量子力学之间的水火不容,这让物理学家头疼不已。

所以,今天的物理学家最大的障碍,就是怎么把相对论和量子力学糅合到一起去。

为此,物理学家做出了各种各样的尝试,提出了各种各样的理论,在这些理论中,目前看来最有「冠军相」的,就是弦理论。

弦理论做出了一个假设,如果我们把粒子放大,你会发现,每个粒子不是一个点,而是一个小小的环,就好像是一圈橡皮筋一样,粒子的各种特性,都是因为这一圈「橡皮筋」的振动,就像是琴弦一样,因为被拨动,所以产生了各种各样的变化。

弦理论认为,其实组成物质的弦都是一样的,振动的方式不同,就会产生不同的粒子。

刚才说的这些有些烧脑啊,如果不理解也没关系,你只需要知道,目前在理论物理学界,很多科学家相信,弦理论是可以用来解释这个宇宙的奥秘的。

像美剧《生活大爆炸》,特别聘请的科学顾问布赖恩∙格林,就是研究弦理论的专家,剧中最聪明的那位科学家谢尔顿,编剧也特意让他专门研究弦理论。

虽然弦理论被很多科学家寄予厚望,但是目前终究还是一种理论,因为它还有很多前提是假设的,尚未被证明。

一个重要的前提,就是弦理论认为,组成万事万物的那个弦,应该有十个维度。

我们现在生活的这个空间,是个三维空间,任何一个物质,都有长宽高三个维度。

如果再加上时间算是另一个维度,我们生活在四维时空之中。

可是弦理论认为,不只有这四个维度,除此之外,还应该有六个维度,加在一起,我们是生活在十维的时空之中。

那咱们怎么感受不到其他那六个维度呢?科学家给出了一种解释,就是那六个维度都蜷缩在一个很小的尺度里边了。

什么意思呢?你可以想象有一根很细很细的水管,水管里边有一只蚂蚁在爬,水管特别细,蚂蚁在里边想转个身都很难。

这根水管当然是三维的,但是因为它特别细,所以蚂蚁根本没法左右走,也没法上下走,只能前后走。

我们从远处一看,也会觉得这就是一根很细绳子。

那这根水管,就是一个三维物体,但是对于我们和蚂蚁来说,有两个维度蜷缩在很小的尺度里。

所以,我们和蚂蚁都会感觉,这好像是一个一维的绳子。

你可以把我们身处的宇宙,也想象成这样,有些维度因为特别细小,所以我们根本感觉不到。

可是,我们可以感觉不到,科学家总要有一种方法能研究那六个维度吧?问题在于,其实科学家们一开始也不知道,剩下的六个维度是什么样的。

因为十维时空的提出,主要是基于科学家笔头的计算,研究者经过计算发现,只有在十维的时空之中,弦理论才能成立,才能把相对论和量子力学统一起来。

但是那六个维度具体是什么样的,能用什么样的方法研究它们,物理学家其实自己也不知道。

这个时候他们发现,原来在几何学的领域,已经有了一个可以拿来使用的工具,这就是丘成桐先生发现的「卡拉比-丘空间」。

卡拉比-丘空间最初是由意大利数学家卡拉比提出的猜想,丘成桐证明了这个猜想,这个「卡拉比-丘」就是以两位数学家的姓命名的。

当年的丘成桐先生只有二十多岁,如果你想了解丘先生具体的研究过程,推荐你读一读丘成桐先生的自传《我的几何人生》。

在这里我只想和你分享一个特别好玩的细节,一开始丘先生其实是打算找到一个反例,证明卡拉比的猜想不成立,但是越深入研究越发现,想要推翻卡拉比的猜想,根本是不可能的。

于是丘成桐的研究方向来了个180度大转弯,他开始努力证明卡拉比的猜想成立,经过几年的努力,丘先生终于证明了卡拉比猜想。

证明这个猜想最大的成果,是丘成桐发现了一种空间形态,这个空间正好是一个高度蜷缩的六维空间,也就是前边咱们说的「卡拉比-丘空间」。

换句话说,丘成桐的研究成果,从数学上证明了,十维的时空是可以存在的。

我们当下的这个四维时空再加上「卡拉比-丘空间」,就是弦理论需要的那个十维时空。

更有趣的一点是,丘成桐先生是先发现了「卡拉比-丘空间」,之后才发现他对于探索宇宙的重要性。

丘成桐证明卡拉比猜想是在1976年,直到1984年,他接到了两位物理学家的电话,两位物理学家说,他们正在研究一种全新的宇宙模型,叫做弦理论,他们发现,丘成桐解决卡拉比猜想时提出的空间,正好是他们需要的。

此后,丘成桐先生的研究开始发生转变,一半关注数学,一半关注物理学,他让很多数学家和物理学家联合起来,共同交流,共同研究,共同完善弦理论。

到今天为止,弦理论是不是宇宙的真理,这个可能还需要具体实验的验证,但是因为丘成桐先生这样数学家的参与和努力,弦理论的数学理论,已经得到了严格的证明,也让数学有了更多的发展。

丘成桐先生在书中说:「我们看到几何和物理如何走在一起,催生了美妙的数学、精深的物理。

这些数学是如此的美妙,影响了不同的理论,使人们相信它在物理学中必有用武之地。

」结语到这里,这本《大宇之形》其中精华的部分,我就为你解读完了。

总结一下,从古希腊的时代,一直到今天,几何学一直帮助科学家们揭开宇宙的奥秘:欧几里得的《几何原本》,给后世的科学家提供了研究科学的榜样,两千多年前发现的勾股定理,直到今天依然是测量距离的重要工具。

笛卡尔对几何学的改造,帮助牛顿找到了天体运行的重要规律,高斯对于空间可以弯曲的大胆设想,以及高斯的学生黎曼发扬光大的几何学,帮助爱因斯坦提出了广义相对论。

直到今天,最能融合相对论和量子力学,解释宇宙奥秘的弦理论,之所以能被越来越多科学家认可,是因为丘成桐发现的「卡拉比-丘空间」,让弦理论在数学上得到了严格的证明。

回顾了几何学的昨天和今天,那我们能不能想象一下,几何学的明天会是怎样呢?丘成桐先生在书中提出了自己的猜想,数学家们研究的几何学,从量子力学的角度来看,都是关于长距离、大尺度的研究。

想要更深入地了解世界的本质,科学家们需要找到一种能够描述极微小粒子的几何学。

丘成桐先生把它称作「量子几何学」。

目前对于量子几何学的研究刚刚开始,这门学科能发展成什么样,今天的人们还没法准确预测,但是我们可以肯定的是,如果真的能建立起一套完备的量子几何学,它将是人们认识世界的又一次突破。

几何学还会继续陪伴着我们,成为人类探索宇宙奥秘、世间真理的重要工具。

撰稿、讲述:陈章鱼

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