flatland什么意思（flatland平面国小说书评）
五一 
这本书就是顶顶大名的《平面国》，它的英文名是 Flatland。该书的中译本有好几个版本，今天给大家介绍的是2013年大连理工出版社的版本。今天我们将为大家分享香港大学数学系萧文强教授为该译本写的弁言（即序言，音 bian），相信对于第一次了解该书的读者是一篇很好的指南。2007年该书被改编成了一部30分钟的影片，还有人将其制作成了中文字幕，视频地址如下，大家可自行观看。
https://www.bilibili.com/video/av5301061/
译本弁言
第一次认识“方先生”（A Square）是在四十年前，当时我刚自研究生院毕业，留在美国教书。独居异乡，教书及做研究之外，别的时间多用来看书。看的书种类颇杂，其中一本便是Edwin Abbott Abbott的小说 Flatland: A Romance of Many Dimensions。
《平面国》英文原版封面，图片来源：维基百科
那个时候我只觉得小说很好看，虽然并没有完全看明白作者所用的老式英语。书写成于19世纪后期，乃英国维多利亚女王（Queen Victoria）时代。根据有些文学评论家的说法，作者还特意仿效16世纪英国伊丽莎白一世女王（Queen Elizabeth Ⅰ）时代的英语。事实上，作者本人是一位研究英国16世纪文豪威廉·莎士比亚（William Shakespeare）文学作品的专家。
在过去十年间，我在香港大学开了一门数学通识课，名为“数学:文化的传承”。每年的课都用了至少两节谈到数学与文学， Flatland 被用作其中一个讨论题材。为了教书，我不只是把书重读，也兼读了一些评论文章，包括好些该书出版时（1884年）的评论文章。两年前内子动了把该书翻译成中文的念头，我从旁协助，也就把书仔细重读一遍，体会亦更深。尤其有两本由数学家撰写的注疏本互相参照，读来更有兴味。
原书的副标题“一个多维的传奇故事”语带双关，足见作者的精心安排。作者喜欢用双关语与读者玩文字游戏，不时引用英国某些文学作品的语句，稍作修改以符合他的用意。最初阅读时我固然无从察觉这些微妙之处，即使后来再读多遍，也要读了注疏本才得知。例如，开首他把书的作者称为“方先生”，我初读时只理解为一个正方形的居民介绍他的世界和自述他的经历，后来才晓得原来名字已暗藏玄机，是双关的，“A平方（两次）”即AA，也就是作者本人的名字Abbott Abbott的缩写！
为什么是“多维”的传奇故事呢?固然书的内容讲述一个三维世界的居民（“圆球先生”）进入二维世界，企图拓宽二维世界居民（特别是“方先生”）对空间的认识，这儿的“多维”的确是指数学名词的“维” （Dimension）。但读毕全书，我们便知道作者在书中讨论了不少主题，而且本书不仅是数学虚幻小说，也是介绍四维概念的数学普及读物，又是针砭当时英国阶级社会的讽刺小说，还是倡议女权的先锋作品，甚至有些评论家认为它是一篇宗教灵性寓言小说。总而言之，“多维”可以看作日常用语的“多面观”，小说包括好几方面的叙述和讨论，其用意颇深且广，有待有心的读者慢慢仔细玩味。
虚幻（Fantasy）、讽刺（Satire）、寓言（Allegory）兼备的小说中外都有不少。英国17世纪有John Bunyan的 The Pilgrim’s Progress :from This World to That Which Is to Come（《天路历程》），18世纪有Jonathan Swift的Gulliver’s Travels（《格列佛游记》）。中国16世纪有明代吴承恩的《西游记》，19世纪有清代李汝珍的《镜花缘》。所有这些虚幻小说的主人公总是以访客身份到了一些奇幻之境，说出他们的历险故事。 Flatland 的手法有些特别，主人公是住在奇幻之境的居民，访客来自他方（是我们熟悉的三维世界），主人公讲述他如何感受到来自三维世界的访客的奇妙之旅。
也许这又是作者的精心安排，为介绍四维世界铺路。从三维世界看二维世界，对我们来说毫无困难，就如同书中的“方先生”看一维世界毫无困难一般。但明白了低一维世界的居民如何感受到来自高一维世界的访客的奇妙之旅，我们便能较好地明白四维甚至更高维的世界是什么模样。值得注意的一件事是，四维世界在19世纪后期的西欧，并没有局限于数学范畴，在一般文化界亦颇受注意，是个流行的话题。就连与此有关的几何课题，如四维时空、非欧几何，也不时在文学作品中出现，例如Herbert George Wells的 The Time Machine（《时间机器》）讲述穿梭时空的经过，又例如Fyodor Dostoyevsky的The Brothers Karamazov（《卡拉马佐夫兄弟》）引用了当时的新兴事物——双曲型几何——做宗教讨论，可见数学在当时并非只限于数学家的讨论。
反过来，19世纪西欧的数学家也留意文学作品。有名的英国数学家James Joseph Sylvester曾经移居美国，1883年回到英国牛津大学担任讲座教授，过了不久Flatland便面世。他曾向另一位有名的英国数学家Arthur Cayley推荐该书，认为大学生应该人手一本，以便更好地了解高维空间。有人甚至推测第一则评论该书的文章（刊于The Oxford Magazine，1884年11月5日号）虽然不具名，却是Sylvester的手笔。
Sylvester早于1869年12月便在一个著名演讲（文本后刊于 Nature）中提出数学的推广及抽象不应只局限于可观察的事物（虽然那也是十分重要的），更在于可想象（Conceivable）的概念，例如高维几何便非不可想象的概念。过了将近150年后，今天我们对三维以至四维空间并不感到诧异，既然可以向左走、向右走，便可以向前走、向后走，又可以向上走、向下走。还有没有再多的另一个“方向”呢?懂物理的人会说:可以想象向过去走、向未来走，也就是物理学的四维时空了。其实从纯数学的角度看，我们并不需要依赖可观察的事物（虽然时间并非容易捉摸的可观察事物，例如在可观察的范围内，为何时间只能前进而不可后退呢?），只要事物变化的自由度有多少，我们便可以把情况表示为多少维空间的点。这样看来，在书中第19章“方先生”对“圆球先生”的提问是完全合理而且是不难回答的，只是，那一步的思想飞跃需要开放的襟怀和广阔的眼光。
《平面国》作者 Edwin Abbott Abbott（1838-1926），图片来源：维基百科
作者Edwin Abbott Abbott是位颇富色彩的人物，是一位教会的会吏和牧师，也当了一所著名中学（City of London School）的校长25年。同时他又是一位神学研究者，一位研究莎士比亚文学作品的专家，一位古典文学（指拉丁文和希腊文）学者，著作甚丰，不下五十种。作者在中学的成绩很好，毕业时获取奖学金进入剑桥大学攻读古典文学，曾获古典文学优越成绩的奖章。他的数学成绩也不俗，在著名的剑桥大学数学考试中排名前列。（虽然他不专修数学，但他在中学受过的数学训练，令他满有信心报考著名的剑桥大学数学考试。这也解释了为何他写作Flatland时，对数学概念表述得如此清晰。）从剑桥大学毕业后，他在两所中学任教了几年，1865年回到中学母校当上校长，是少有的年轻校长，只有26岁。但他的用心与魄力赢得了学校同仁的敬佩，把学校变成一所非常出色的中学。他亲自执教，是众多学生心目中的良师。1889年，他反对学校董事会削弱古典文学的教学，为了维护古典文学在课程中的地位而不惜辞职，但答应翌年才离任，以便学校董事会找到新校长。由此可见其择善固执、敢于反抗又尽忠职守、以学生为重的性格。
作者思想开明，不带偏见，在当时的社会与宗教氛围下，是位敢言敢做的改革派分子，既对他自己学校的课程做出改革，也大力帮助女性争取权益。在Flatland中他处处触及这些话题。初时有些读者看不透，还以为作者是蔑视女性的人!不知道是否因为这个缘故，作者在世时被外界称许的众多著作之中竟然缺了 Flatland这本书，这本书甚至鲜为人知。然而，百年后，Abbott的五十多种著作已经很少被提及，倒是Flatland却成了他的传世之作!
翻译 Flatland不是一件容易的工作，不单是因为书中所用的老式英语，也是因为作者注入的多面观思想。该书出版后不久，著名的文学科学评论期刊 The Athenaeum（1884年11月15日号）对它有这样的评语:
“这本离奇幽默的书……似乎含有某种用意，但那究竟是什么却难以找出来。”
冯友兰在他的A Short History of Chinese Philosophy（1948年出版，有赵复三的中译本《中国哲学简史》）中说到了要旨:
“任何翻译的文字，说到底，只是一种解释。当我们把《老子》书中的一句话译成英文时，我们是在按照自己的理解来阐述它的含义。译文通常只能表达一种含义，而原文却可能还有其他层次的含义。原文是提示性质的，译文则不可能做到这一点。于是，原文中的丰富含义，在翻译过程中大部分丢失了。”
他指的是中译英，显然英译中也会出现同样的问题。不过，对于不习惯阅读英文原著的读者，有中译本总比没有好。或者，由此引起读者的兴趣去阅读原著，仔细思考玩味，各人有各人的领会，便更佳矣。
我读毕全书，感到特别强烈的信息是作者毫不留情地揭示人类的愚昧无知、思想封闭、企图以权力压制真理的粗暴行为。证诸我们周围正在发生的事情，令人不无感触，使人怀疑盲目迫害与自己意见不同的人是否是多数人的本性，抑或是权力的腐蚀?（刚开始写作这篇弁言之际，传来捷克共和国前总统、诗人、剧作家、文人政治家、思想家、人权分子Vaclav Havel逝世的消息。这一方面使人哀伤，另一方面也使我们从这位以人性为本的伟人的逝世所带来的怀念中得到启示。Havel说的“真话与爱心必将战胜谎言与仇恨”正是“无权力者的权力”，在黑暗中是个希望。）
Flatland中用了末尾5章讲述“方先生”如何解放思想，不囿于一己之见，接受自己的世界以外“天外有天”。作者巧妙地以“方先生”梦见一维世界国王的经历来对比“方先生”初遇“圆球先生”时的愚昧，后来更巧妙地借助“圆球先生”拒绝接受高维世界这个概念的强烈反应，重复“方先生”之前的封闭无知，以讽刺三维世界居民的同等愚昧!
我们常常自以为高人一等，嘲弄别人的封闭无知，却不知道自己其实也同样封闭无知。因此，我们必须时常提醒自己:要虚怀若谷，要包容别人。结尾时作者还添加一笔，介绍了零维空间居民之“目中无人”，虽然自我感觉良好，却令外人觉得他很可怜!这令我想起古希腊哲人的一个譬喻:我们的知识犹如一个圆，处于未知的平面中，每当知识增多，圆便增大，但圆周也越长，触及的未知成分也越多。所以，知识越多的人，越知道自己无知。学无止境，其乐无穷，我们倒不必像日耳曼传说中的浮士德（Faust）那样，为了担忧“生也有涯，知也无涯”而把自己的灵魂出卖给魔鬼了!
我们生活在三维空间和时间编织而成的四维时空中，可是在精确的意义上，维度到底是什么？更高维度的时空意味着什么？不同维度之间是否存在难以突破的壁垒，还是有着深刻联系？非整数维度是什么样子？
维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外，我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦，被限制在一维电话线上的知更鸟，在二维地面上自由移动的鸽子，还有翱翔在三维空间的老鹰。
但是对于数学家来说，为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出目前对维度概念的严格理解。
01 超越三维
古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线，两个方向延伸的是平面，三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了，这些就是所有的维度。”
然而相比于其他人，数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？
一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断变大，直到达到其最大尺寸，然后缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维物体的形状。
图1：在平面上只能看到三维物体的横截面。| 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
类似地，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，这个四维球会以一个点的形式出现，之后成为一个实心球，最终达到完整半径的球，然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知，但是对于这样的物体，还有其他思考方式。
例如，让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始，可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后，当我们垂直于拖动方向移动线段时，得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。
图2：通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置，我们可以可视化各种维度的图形，包括超立方体。
或者，就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion，Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。
图3：我们可以通过展开正方体得到的面来想象一个立方体。同样，我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体。
所有这一切构成了对维度的直观理解，即如果一个抽象空间有n个自由度（就像那些鸟一样），或者需要n个坐标来描述一个点的位置，该空间就是n维的。然而，数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。
02 定义维度
人们对更高维度的正式研究出现在19世纪，相关研究在几十年内变得相当复杂：1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用。也许因此，在19世纪末和20世纪初，公众开始迷恋第四维度。1884 年，埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平面国》（Flatland），小说以二维生物遇到三维生物作为类比，帮助读者理解第四维度。1909 年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维？” ，有245份参赛作品争夺500美元的奖金。许多艺术家，如巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）和马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp），将第四维的想法融入到作品中。
但在这段时间里，数学家们意识到，维度缺乏正式的定义实际上是一个问题。
乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的势 (cardinality）而闻名[2]。起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势，就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点。然而，在1877年，他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系，这表明它们具有相同的势。凭借直觉，他证明了尽管维度不同，线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点。康托尔写信给理查德·戴德金（Richard Dedekind），“我看到了，但我不相信它。”
康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念，因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识。因此，从某种意义上说，这些高维立方体相当于一维线段。然而，正如戴德金指出的那样，康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分，然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们所希望的坐标系的行为。这种坐标系太过无序，无法为我们描述物体提供帮助，就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址。
然后，在1890年，朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现，可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续，以至于可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线（space-filling curve）。但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础，因为曲线与自身无限多次相交。回到对曼哈顿的比喻，这就像给一些建筑物多个地址。
图4：这些是产生空间填充曲线的前五个步骤。在每一步，曲线的面积为零，但在极限情况下，它填充了正方形。这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特（David Hilbert）引入的。
这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如，当n≠ m时，n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性”（invariance of dimension）问题。
终于，在1912年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后，布劳威尔（L.E.J. Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中，以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下，使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实，帮助归纳地确定维数。
尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写，“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。”
例如，假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加，中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是，令人震惊的是，当n≥10时，这个球体会伸出立方体的边。
图5：中心球体随着维度的增加而变大，最终会突出到立方体外面。
高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curse of dimensionality）。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外，随着维度增加，点形成聚类的概率会降低。因此，找到为高维数据降维的方法十分重要。
03 分形和非整数维度
维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一个新的维度定义，之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。
考虑维度的一种直观方式是，如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍，它的大小会增加到k^d倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍，点的尺寸不变（3^0=1），线段变成3倍（3^1=3），正方形变成9倍 (3^2=9)，立方体变成27倍 (3^3=27)。
图6：当我们将d维对象放大k倍，其尺寸会增加到 kd 倍。
豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是，物体可能具有非整数维度。几十年后，当伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时，结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐，以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短，测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为，豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法，并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。
图7：英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。
要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Koch curve）。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每个线段的中间三分之一，并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它，无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它，你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我们将这条曲线缩放3倍，我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4，因
04 四维时空之外
最后，有些读者可能会想，“时间不是第四维吗？” 事实上，正如威尔斯1895年的小说《时间机器》（The Time Machine）中的发明者所说：“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别，只是我们的意识沿着它移动。” 1919 年，作为第四维的时间在公众的想象中爆发，日食让科学家们证实了爱因斯坦的广义相对论和闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的平坦四维时空的曲率。正如闵可夫斯基在1908年的一次演讲中所预言的那样，“此后独自的空间和独自的时间注定会消失在阴影中，只有空间和时间的某种结合才能保持独立的现实。”
今天，数学家和其他人的研究经常偏离我们所在的三个维度。有时研究会涉及额外的物理维度，例如弦论所要求的那些维度，但更多时候我们抽象地工作，并不设想实际空间。一些研究是几何的，例如玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在2016年发现了在8维和24维填充球体的最有效方法[3]。在物理、生物学、工程、金融和图像等不同领域研究分形时，有时需要非整数维度。在这个“大数据”[4]时代，科学家、政府和企业建立了人、地点和事物的高维度档案。
幸运的是，无论鸟类和数学家，都不需要完全理解维度就可以体验维度。
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