什么是数感？如何培养学生的数感？

最近我在追一位美国宝藏数学老师Steve Wyborney的博客和教学视频。这位老师是我在脸书的一个美国数学老师群里发现的，挖了一下背景后才知道，原来他不止获过很多奖项，还是个响当当的数学网红，从学前班到5、6年级的老师、家长，都对他的教学方法赞口不绝。

我看了一部分他的教学视频， 发现这位老师最显著的特点是，他特别擅长把“数”和“形”结合起来，让孩子看到、摸到真实世界中数字的几何表达，从而培养孩子的“数感”。

比如他用积木方块给出这样一个图形，让孩子回答方块的数量：

对于一个能数数，或者会简单加法、乘法的孩子来说，这并不困难，稍微观察思考一下，就能给出答案：27。

不过，答案不是他所追求的。他希望孩子能从尽量多的视角去观察，给出不同的思路，从不同的角度去感受和体会：“27”这个数字可以怎么来构成，每一种构成方法，在现实空间中对应了怎样的几何图形。

比如，可以对四周的方块进行拆分，整个图形就等于4个2*3的方块（黄色部分），再加上中间1*3的方块（蓝色部分），于是，27 = 2*3 + 2*3 + 2*3 + 2*3 + 1*3 =（2*3）* 4 + 3 ：

或者，把图形从前到后拆分成三层，每一层有9个方块，于是，27 = 9 + 9 + 9 = 9*3：

又或者，把图形“拦腰”分割，黄色部分是3*5的方块，上下分别是2*3的方块，所以，27 = 3*5 +（2*3）*2：

Steve Wyborney给很多数学老师做过讲座，分享他自己的教学方法。比如谈到怎么教学生乘法，一种方法是想办法把“3*8=24”、“7*3=21”、“6*7=42”这些“知识”直接存进孩子的大脑里，类似于我们小时候的背乘法表。

但更好的方法，是把“数”和“形”结合起来，让孩子用积木方块去对应和感受“6*7=42”在真实世界中的意义，它可以有很多种表示方式：

你看，把抽象的“数”和真实世界里的“形”对应起来后，孩子就能很直观、很深刻地理解乘法的含义。这样，当孩子想到6*7时，脑海里不是很“惰性”地蹦出“42”这么一个抽象的数字，而是能灵活地进行拆分、合并。而且你发现没有，在这个过程中，他们已经不断地在实践、感受和应用乘法的分配律、交换律和结合律了，尽管他们可能还根本不知道有这些公式。

6 * 7 = 7 * 6 （交换律）

6 * 7 = 6 * 2 + 6 * 5 （分配律）

6 * 7 = 3 * 7 + 3 * 7 = （3 * 2） * 7 = 2 * 7 + 2 * 7 + 2 * 7 = 3 * （2 * 7） （结合律）

Steve Wyborney说，有些家长以为，画方格、搭积木的方法只是在很低龄的“数数”、“简单加减运算”阶段适用，其实，当孩子开始深入学习四则运算，要理解更复杂的运算公式时，更需要通过和实物对应的方式，让孩子理解数字之间的关系，并且能够灵活利用、转换这些关系，才能获得真正的“数感”。

这让我突然想起几年前学习蒙特梭利的一些心得。

之前和大家分享过，逃逃刚来美国时，我曾经花了一段时间去学习蒙特梭利的教育理念和方法。当时完全是抱着“偷师”的心态，因为我发现美国的蒙氏幼儿园特别多，而且不仅有蒙氏幼儿园，还有蒙氏小学和中学，口碑都不错。家长圈流传着一个说法，从蒙氏出来的孩子数学普遍都比较好，尤其到了小学中高年级后，更能看出差距。

所以那段时间我挖了不少蒙氏的教学“内幕”，读了不少相关书籍，还参加了他们的一些讲座和培训课。

印象最深的一点，正好和Steve Wyborney老师所强调的很吻合，蒙氏也特别擅长用“数形结合”的方法，来培养孩子的“数感”。

比如用这样的“红蓝竖棒”，让孩子直接去触摸10以内的数字和加法：

用这种十个一串的“Bead Bars”让孩子理解“十进制”。视觉和触觉的直接感受，让幼儿园的小朋友也能轻松理解十、百、千和对比它们之间的关系：

其中，不同大小、形状的积木块，是蒙氏最常用的数学教具，几乎贯彻了整个学前和小学阶段。

比如孩子会发现，用2块、4块、6块积木都能拼出一个矩形，但用3块、5块就不行，从而体会到“偶数”和“奇数”的差异。

孩子还会发现，6个积木能分成2个同样长的，也能分成3个同样长的；而5个、7个积木却做不到。从这些尝试中，孩子能体会到合数和质数、因数和倍数…尽管他们还未必了解这些概念，但已经在真实世界里演练过很多遍了。

再比如，9个方块能达成一个正方形，因为它是个平方数；8个方块能搭出一个立方体，因为它是一个立方数：

即便到一些比较复杂的概念和公式，孩子依然可以从“数”和“形”的对应中获得最直观的感受。

比如勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（a²+b²=c²）。孩子可以用积木块拼出下面三个正方形，然后将两个小正方形的方块重新组合，发现正好和大正方形一样（3²+4²= 9+16 = 25）。自己动手“实践”出来的定理，理解很深刻，不但不容易忘，在实际运用时也更灵活。

在小学低年级阶段，大多数孩子的数学是拉不开差距的，但越往上走，“数形结合”的基础打得越扎实，孩子的“数感”越强，就越发能显现优势了。

比如遇到这样的“数列求和”问题：

1+3+5+7+9+…+(2n-1)

学霸会仔细观察数列的特点，找到“首尾相加，乘以项数的一半”的思路。

1+3+5+7+9+…+(2n-1) = （1+2n-1）* n / 2 = n²

但“学神”级别的，往往会另辟蹊径。TA可能一眼就把这个数列所对应的真实几何表示给看出来了。

第一项，1，就是一个正方形积木方块（下图中的红色）；

下一项，3，就相当于原先的正方形外面多一个“L”形（下图中的绿色）；

再下一项，5，就再多加一层“L”（下图中的紫色）；

每次新加的一层“L”，都比上一个“L”多2个积木方块，恰好就是数列中的下一项。

当脑海里呈现出这个图形，答案其实就已经摆在那儿了：

1开始的n个奇数的数列求和，其实就是在算一个边长为n的正方形的面积。

答案显而易见：n²。

记得读中学那会儿，班上就有一位这样的“学神”，我自认为已经是数学学霸了，但人家做起卷子来就是更快更准。有时觉得他的方法实在很妙，去恭维两句吧，他却摆出一副惊讶且“欠扁”的表情“啊？！这不是很自然就能想到的吗？”

所以啊，我们常说“学神”高不可攀，就是因为TA可能具备了其他同学没有的，一些自然而然的“感觉”。

这种感觉，在语文领域是“语感”，你还在挠头抓耳地琢磨“总分总”时，人家行云流水的大作已经一气呵成了；

在数学领域就是“数感”，你还在苦哈哈地计算，人家已经“降维打击”地想到了更简便、更不容易出错的方法。

EASTWEST

“数”和“形”是数学最基本的两大要素，前者抽象，后者具象。对于数学学习来说，只有将抽象的数和具象的形结合起来，让孩子体会到数字、公式、定理在真实空间中的含义，才能真正理解数学的本质。

并且，越学到后面，孩子就越能灵活地在“数”和“形”之间灵活转换，上面提到的学神解法，是用“形”去解答“数”的问题；而到了中学，孩子接触笛卡尔“直角坐标系”后，则是用“数”的方法去解答有关“形”的难题。

所以，无论是前面提到的网红数学老师，还是蒙氏教育的精髓，他们都非常注重孩子“数形结合”的能力。

另外，有一个关键点我刚才还没有提，就是他们的另一个共同点——慢。

Steve Wyborney老师的教学视频里，会多次提醒孩子，“现在你可以按下暂停键停下来，慢慢想一想”，我数了一下，有时一个几分钟的视频里，他就会这样提醒十多次。

蒙氏大家应该有所听闻，混龄制，一个班上孩子的年龄差别最大的可能有3-4岁。所以在蒙氏的课堂上，老师几乎不会统一讲课，而是让他们按照自己的节奏去完成一项又一项的“工作”。非必要情况，老师不会打扰孩子，而是让他们在“工作”中去慢慢去体会，比如上面提到的，用积木教具去理解和感受一些数学概念和公式。

关于“慢”这一点，我体会挺深的，和大家多掰几句。逃逃现在已经上初一了，回头看他之前的学习，有些地方我们曾经也走的稍稍有点儿急。

记得几年前我们有次暑假回国时，顺便给逃逃报了个线上数学班，因为他特别喜欢数学。课程内容挺好，老师讲的也不错。几次课后，老师还微信我，表扬逃逃课堂积极，作业完成得也很棒。但他却跟我抱怨，说老师讲得太快，不是听不懂的快，而是让他没有“成就感”的快。

比如老师出了一道题，还没等他想个七七八八，就已经开始讲解题思路和方法了。一节课下来，他的确学到了很多题型的解答方法，也能照着这些方法去完成作业，但却没有“寻找出这些方法”的乐趣和成就感。

我很庆幸他能自己发现这一点，如果单看课堂表现、作业、测验结果的话，家长是很难发现孩子的这种感受并及时调整的，学习中少了琢磨和思考的乐趣，久而久之，孩子可能对数学真就不那么感兴趣，这就亏大了。

这几年教育节奏越来越快，周围还时不时冒出些学前就把小学学完，小学把中学学完的“别人家的牛娃”，把氛围搞得越来越焦虑，但绝大多数正常孩子的智力进化其实并没那么快……

所有要培养“感觉”的东西，都不可能一触而就，要靠慢慢地积累，慢慢去体会。语感，靠一首一首诗背出来，一本一本书读出来。数感，也是在每一次“数”和“形”的对应中，琢磨出来的。迅速学到的，是技能，是方法，而慢慢体会到的，积累的，才是“感觉”。

不是你有否同感？

PS：Steve Wyborney老师的教学视频我还没给大家搬回来，一来是我自己都还没全部追完，需要再深究整理；二来因为是全英文的讲解，也担心对孩子有难度。我想，大家get到了他的“数形结合”的教学思想，在日常陪娃中就已经有启发和帮助了。

五一终身VIP

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